Disegualiansa triangolâ

Trei exempi da disegualiansa triangolâ pe triangoli con loei de longhixe $x$, $y$, e $z$. L'exempio de d'ato o mostra o caxo donde $z\ll x+y$, e quello de sotta o caxo squæxi degenerou donde o lou $z$ o l'é squæxi pægio a-a somma $x+y$.

In geometria, a disegualiansa triangolâ a descrive o fæto che, inte un triangolo, a somma da longhixe de doî loei chesesegge a l'à da ëse maggiô ò pægia a-a longhixe do terso lou. St'asserçion a vâ pe-i triangoli degeneræ ascì, ma gh'é di autoî, mascime de quelli che trattan de geometria de base, che no conscideran sta poscibilitæ, e che donca lascian feua l'egualiansa.

Se acciammemmo e longhixe di loei do triangolo $x$, $y$, e $z$, e nisciun di loei o l'é maggiô de $z$, aloa a disegualiansa triangolâ a l'afferma che $$z\le x+y,$$ e l'egualiansa a vâ solo into caxo degenerou de un triangolo con äia zero. Inte çerte geometrie, compreiso quella euclidea, a disegualiansa triangolâ o l'é un teorema in sce distanse, e o se scrive co-i vettoî e e nòrme: $$\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert ,$$ donde a somma de vettoî $\Vert x+y\Vert$ a l'à piggiou o pòsto da loghixe $z$ do terso lou. Quande $x$ e $y$ en numeri reæ, se peuan vedde comme di vettoî in ${ℝ}^1$, e a disegualiansa triangolâ a l'esprimme unna relaçion tra di valoî assolui.

Inta geometria euclidea, pe-i triangoli rettangoli a disegualiansa triangolâ a l'é unna conseguensa do teorema de Pitagora. Pe-i atri triangoli, a l'é unna conseguensa da lezze di cosen, sciben ch'a peu ëse demonstrâ sensa sti teoremi. A disegualiansa a se peu vedde à euggio tanto in ${ℝ}^2$ comme in ${ℝ}^3$. A figua in sciâ drita a mostra trei exempi, che comensan con unna disegualiansa ciæa e finiscian con squæxi unn'egualiansa. Into caxo euclideo, l'egualiansa a l'occore solo se o triangolo o l'à un angolo de 180° e doî de 0°, de mainea che e træ ponte seggian conlineæ, comme l'é mostrou inte l'urtimo exempio. Donca, inta geometria euclidea, a distansa a ciù breve tra doî ponti a l'é unna linia drita.

Inta geometria sferica, a distansa a ciù breve tra doî ponti o l'é un erco de un grande çercio, ma a disegualiansa triangolâ a l'arresta valida se se piggia a restriçion che a distansa tra doî ponti in sce unna sfera a segge a longhixe de un segmento minô de linia sferica ch'o l'agge comme terminaçion quelli doî mæximi ponti.

A disegualiansa triangolâ a l'é unna de propietæ che definiscian e nòrme e e mesue de distansa.